什么叫棣莫弗公式？
设两个复数(用三角形式表示)Z1=R1(cos1 is in0 1)和Z2=R2(cos2 is in0 2)，则： z1z 2=r1r 2[cos(12)is in0(12)]。
LIFe54.zhIlI123.CoM
先说复数三角形式的概念。
在复平面c上，Z=a bi用向量Z(a，b)表示。
因此，向量可以分为实轴和虚轴上的两个子向量。
LIFe54.zhIlI123.CoM
如果矢量z与实轴的夹角为，则这两个子矢量的模分别等于rcos 和rsin(r=a 2b 2)。
因此，复数Z可以表示为Z=r(cos isin)。
这里称为复z的自变量，因为Z1=r1(cos1 isin1)，Z2=r2(cos2 isin2)，因此，z1z 2=r1r 2(cos1 isin1)(cos2 isin2)=r1r 2(cos1 cos2 icos1 sin2 isin1 cos2-sin1 sin2)=r1r 2[(cos1 cos2-sin1 sin2)I(cos1 sin2 sin1 cos2)]==。
可以用数学归纳法证明，而归纳法是基于Dilmoff的两个复数相乘定理。
如果我们把DeMofer定理和欧拉公式‘e I=cosisin’一起看(见《泰勒公式》，严格的证明需要复杂的分析)，就可以用它来理解欧拉公式的含义。
棣莫弗公式？
LIFe54.zhIlI123.CoM
先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + …… + t^n/n！+ ……sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……将t = ix 代入以上三式 ，可得欧拉公式应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n=e^inx=cos(nx)+isin(nx)
LIFe54.zhIlI123.CoM
数学归纳法证明棣莫弗公式.
设复数z＝r(cosa＋isina),r>0,n∈N﹢.则z^n＝r^n﹙cosna＋isinna﹚被称之为棣莫弗公式.我们用数学归纳法来证明。
（注意，我们要用i²＝－1这个基本定义。
）n＝1时，有z＝r(cosa＋isina),————————①设n＝k时命题成立，即z^k＝r^k﹙coska＋isinka﹚,当n＝k+1时，z^(k+1)＝r^k·r(coska＋isinka)(cosa＋isina) ＝r^(k+1)﹛﹙coskacosa－sinkasina﹚＋i﹙sinkacosa＋coskasina﹚﹜ ＝r^(k+1)﹛cos(k+1)a＋isin(k+1)a﹜,——————②因为n是任意的正整数，所以由以上①②两步，可以断言：命题得证。